《算学启蒙总括》第一章 算学启蒙总括元 · 朱世杰
朱世杰字汉卿，号松庭．北京附近人．生卒年不详，生活于13—14世纪．数学．
关于朱世杰的生平，流传下来的资料甚少，仅能从赵城、莫若、祖颐等人为他的著作《算学启蒙》和《四元玉
鉴》所写的序言中找到一些线索．这些序言均称“燕山松庭朱君”、“燕山朱汉卿先生”．在《四元玉鉴》每卷之首也均署名为“寓燕松庭朱世杰汉卿编述”，可见他的籍贯当在现在的北京或其附近．莫若序中有“燕山松庭朱先生以数学名家周游湖海二十余年矣．四方之来学者日众，先生遂发明《九章》之妙，以淑后学，为书三卷……名曰《四元玉鉴》”，祖颐后序中亦有“汉卿，名世杰，松庭其自号也．周流四方，复游广陵，踵门而学者云集……．
”这两篇序均写于元大德七年(1303)，以莫若序中所说的“以数学名家周游湖海二十余年矣”来推算，朱世杰从事数学教学和数学研究的年代当在13世纪末和14世纪初．
1234年蒙古联宋灭金之后，又经过40余年，至1276年才攻占了南宋的都城临安，1279年南宋灭亡．
朱世杰的青少年时代，大约相当于蒙古灭金之后．但早在灭金之前，蒙古军队便已攻占了金的中都(今北京，
是1215年攻占的)．元世祖忽必烈继位之后，为便于对中原地区的攻略，便迁都于此地，改称燕京，后又改称为大
都．到13世纪60年代，燕京不只是重要的政治中心，同时也是重要的文化中心．
忽必烈为了巩固元朝的统治，网罗了一大批汉族的知识分子作为智囊团．其中有以编制《授时历》闻名的王恂
(1235-1281)、郭守敬(1231—1316)以及编制历法的倡导者和主持者刘秉忠(1216—1274)、张文谦(1216—1283)、
许衡(1209—1281)等人．这个集团中的人物，对数学和历法都很精通．他们未入朝之前，曾隐居于河北南部的武安紫金山中．受到忽必烈礼聘的，还有李治(1192—1279)，他也是一位著名的数学家．
就当时的数学发展情况而论，在13世纪中叶，在河北南部和山西南部地区，出现了一个以“天元术”(一种带
有中国古代数学特点的代数学)为代表的数学研究中心．按祖颐在“《四元玉鉴》后序”中叙述天元术发展情况时
所说：“平阳(今山西临汾)蒋周撰《益古》，博陆(今河北蠡县)李文一撰《照胆》，鹿泉(今河北获鹿)石信道撰《钤经》，平水(今山西新绛)刘汝谐撰《如积释锁》，绛人(今山西新绛)元裕细草之，后人始知有天元也．平阳李德载因撰《两仪群英集臻》兼有地元，霍山(今山西临汾)邢先生颂不高弟刘大鉴润夫撰《乾坤括囊》末仅有人元二问吾友燕山朱汉卿先生演数有年，探三才之赜，索《九章》之隐，按天地人物成立四元……．”这段序文叙述出朱世杰学术上的师承关系．毫无疑问，他较好地继承了当时北方数学的主要成就．当时的北方，正处于天元术逐渐发
展成为二元、三元术的重要时期，正是朱世杰把这一成就拓展为四元术的．
朱世杰除继承和发展了北方的数学成就之外，还吸收了当时南方的数学成就——各种日用、商用数学和口诀、
歌诀等．本来，在元灭南宋之前，南北之间的数学交流是比较少的．朱世杰“周流四方，复游广陵(今扬州)”应是在1276年元军对南宋的大规模军事行动结束之后．朱世杰在经过长期游学、讲学之后，终于在1299年和1303年在扬州刊刻了他的两部数学著作——《算学启蒙》和《四元玉鉴》．隋唐以来，中原地区经济中心和文化中心逐渐南移．长江中下游一带，五代十国时期就比较稳定，北宋时期也
有较大发展．随着金兵入侵和宋王朝的南迁，江南地区的农业、手工业、商业和城市建设等都有较大发展．在这样的社会条件下，中国数学中自晚唐以来不断发展的简化筹算的趋势有了进一步的发展，日用数学和商用数学更加普及．南宋时杨辉的著作可以作为这一倾向的代表，而朱世杰所著的《算学启蒙》，则是这一倾向的继承和发展．
当然，以所取得的成就而论，《四元玉鉴》是远超《算学启蒙》的．清代罗士琳在评论朱世杰的数学成就时说
：“汉卿在宋元间，与秦道古(九韶)、李仁卿(冶)可称鼎足而三．道古正负开方，仁卿天元如积，皆足上下千古，汉卿又兼包众有，充类尽量，神而明之，尤超越乎秦李之上”(罗士琳编《畴人传·续编·朱世杰条》)．清代另一位数学家王鉴也说：“朱松庭先生兼秦李之所长，成一家之著作”(王鉴《算学启蒙述义·自序》)．此外，朱世杰还继承发展了日用、商用数学．由此可见，朱世杰可以被看作是中国宋元时期数学发展的总结性人物，是宋元数学的代表，是中国以筹算为主要计算工具的古代数学发展的预峰．
朱世杰的数学著作，如前所述，有《算学启蒙》、《四元玉鉴》二种，下面略加评介．
1．《算学启蒙》
《算学启蒙》全书共3卷、分为20门，收入了259个数学问题．全书由浅入深，从整数的四则运算直至开高次方
、天元术等，包括了当时已有的数学各方面内容，形成了一个较完备的体系，可用作教材，它确实是一部较好的启蒙数学书．
在全书之首，朱世杰首先给出了18条常用的数学歌诀和各种常用的数学常数．其中包括：乘法九九歌诀、除法
九归歌诀(与后来的珠算归除口诀完全相同)、斤两化零歌诀(“一退六二五”之类)、筹算记数法则、大小数名称、度量衡换算、面积单位、正负数的四则运算法则、开方法等等．值得指出的是，朱世杰在这里，也是在中国数学史上首次记述了正负数的乘除运算法则．朱世杰把上述这些歌诀和数学常数等，作为“总括”而列在全书之首，这种写作的方式，在中国古算书中并不多见．
《算学启蒙》正文分上、中、下三卷．
卷上：共分为8门，收有数学问题113个，其内容为：乘数为一位数的乘法、乘数首位数为一的乘法、多位数乘
法、首位除数为一的除法、多位除数的除法、各种比例问题(包括计算利息、税收等等)．
其中“库司解税门”第7问题记有“今有税务法则三十贯纳税一贯”，同门第10、11两问中均载有“两务税”
等，都是当时实际施行的税制．朱世杰在书中的自注中也常写有“而今有之”、“而今市舶司有之”等等，可见书中的各种数据大都来自当时的社会实际．因此，书中提到的物价(包括地价)、水稻单位面积产量等，对了解元代社会的经济情况也是有用的．
卷中：共7门，71问．内容有各种田亩面积、仓窖容积、工程土方、复杂的比例计算等等．
卷下：共5门，75问．内容包括各种分数计算、垛和问题、盈不足算法、一次方程解法、天元术等等．
这样，《算学启蒙》全书从简单的四则运算入手，一直讲述到当时数学的重要成就——天元术(高次方程的数值解法)，为阅读《四元玉鉴》作了必要的准备，给出了各种预备知识．清代罗士琳说《算学启蒙》“似浅实深”，又说《算学启蒙》、《四元玉鉴》二书“相为表里”，这些话都是不错的．
《算学启蒙》出版后不久即流传至朝鲜和日本．在朝鲜的李朝时期，《算学启蒙》和《详明算法》、《杨辉算法》一道被作为李朝选仕(算官)的基本书籍．在日本收藏有一部首尾残缺、未注明年代的《算学启蒙》，与此书一起，同时也藏有一部宣德八年(即李朝世宗十五年，1433)朝鲜庆州府刻版的《杨辉算法》．从版刻形式等方面来辨识，两部书是相同的，从而有人推断这部《算学启蒙》也是1433年朝鲜庆州府刻本．这可能要算是当今世界上最早的传世刻本．在《李朝实录》中也记有世宗本人曾向当时的副提学郑麟趾学习《算学启蒙》的史料．《算学启蒙》传入日本的时间也已不可考，是久田玄哲在京都的一个寺院中发现了这部书，之后他的学生土师
道云进行了翻刻(日本万治元年，1658，京都)．宽文12年(1672)又在江户(今东京)出版了星野实宣注解的《新编算学启蒙注解》3卷，元禄三年(1690)还出版了著名的和算家建部贤弘注释的《算学启蒙谚解大成》7卷．《算学启蒙》对日本和算的发展有较大的影响．
《算学启蒙》一书在朝鲜和日本虽屡有翻刻，但明末以来，在中国国内却失传了．清末道光年间罗士琳重新翻刻《四元玉鉴》时，《算学启蒙》尚无着落．后来罗士琳“闻朝鲜以是书为算科取士”，请人在北京找到顺治十七
年(1660)朝鲜全州府尹金始振所刻的翻刻本，1839年在扬州重新刊印出版．这个本子，后来成为中国现存各种版本的母本．清代对《算学启蒙》进行注释的有王鉴所著《算学启蒙述义》(1884)和徐凤诰所著《算学启蒙通释》(1887)．
2．《四元玉鉴》
与《算学启蒙》相比，《四元玉鉴》则可以说是朱世杰阐述自己多年研究成果的一部力著．全书共分3卷，24
门，288问．书中所有问题都与求解方程或求解方程组有关，其中四元的问题(需设立四个未知数者)有7问(“四象朝元”6问，“假令四草”1问)；三元者13问(“三才变通”11问，“或问歌彖”和“假令四草”各1问)；二元者36问(“两仪合辙”12问，“左右逢元”21问，“或问歌彖”2问，“假令四草”1问)；一元者232问(其余各问皆为一元)．可见，四元术——多元高次方程组的解法是《四元玉鉴》的主要内容，也是全书的主要成就．
《四元玉鉴》中的另一项突出的成就是关于高阶等差级数的求和问题．在此基础上，朱世杰还进一步解决了高
次差的招差法问题．
四元玉鉴》一书的流传和《算学启蒙》一样，也曾几经波折．这部1303年初版的著作，在15和16两个世纪都
还可以找到它流传的线索．吴敬所著《九章算法比类大全》(1450)中的一些算题，和《四元玉鉴》中的算题完全相同或部分相同．顾应祥在其所著《孤矢算术》序言(1552)中写道：“孤矢一术，古今算法载者绝少，……《四元玉鉴》所载数条。”周述学所著《神道大编历宗算会》卷三之首曾引用了《四元玉鉴》书首的各种图式，书中有些算题也与《四元玉鉴》相同，卷十四作为“算会圣贤”列有“松庭《四元玉鉴》”．可见顾周二人都曾读到过《四元玉鉴》．清初黄虞稷(1618—1683)《千顷堂书目》记有“《四元玉鉴》二卷”，卷数不符．梅瑴成《赤水遗珍》(1761)中曾引用过《四元玉鉴》中的两个题目，可见清初时此书尚未失传．
乾隆三十七年(1772)开《四库全书》馆时，虽然挖掘出不少古代数学典籍，但朱世杰的著作并未被收入．阮元
、李锐等人编纂《畴人传》时(1799)也尚未发现《四元玉鉴》．但不久之后阮元即在浙江访得此书，呈入《四库全书》，并把抄本交李锐校算(未校完)，后由何元锡按此抄本刻印．这是1303年《四元玉鉴》初版以来的第一个重刻本．《四元玉鉴》被重新“发现”之后，引起了当时许多学者的注意，如李锐(1768-1817)、沈钦裴(1829年写有《四元玉鉴》序)、徐有壬(1800—1860)、罗士琳(1789—1853)、戴煦(1805-1860)等人，都进行过研究．其中，以沈钦裴和罗士琳二人的工作最为突出．
1839年罗士琳经多年研究之后，出版了他所著的《四元玉鉴细草》一书，影响广泛．罗氏对《四元玉鉴》进行
了校改并对书中每一问题都作了细草．但是他对此书关键问题(四元消法和级数求和)的理解，尚有需进一步研究者．与罗士琳同时，沈钦裴也对《四元玉鉴》作了精心的研究，每题也作了细草，经对比，沈氏《细草》比罗氏《细草》要更符合朱世杰原意．沈氏《细草》仅有两种抄本传世(其中一种是全本)，现均收藏于北京图书馆．
清代数学家李善兰曾著有《四元解》(1845)，但此书是作者以己意解四元方程组，对了解朱世杰原意帮助不大
．其后陈棠著《四元消法简易草》(1899)，卷末附有“假令四草”的“补正草”，对理解朱世杰四元术是有帮助的．日本数学史家三上义夫在其所著《中国及日本数学之发展》(ThedevelopmentofmathematicsinChinaandJapan，1913)一书中将《四元玉鉴》介绍至国外．其后康南兹(E．L．Konantz)和赫师慎(L．VanHeé分别把《四元玉鉴》中的“假令四草”译为英法两种文字．1977年华裔新西兰人谢元祚(J．Hoe)将《四元玉鉴》全文译成法文，并写了关于《四元玉鉴》的论文．
朱世杰的数学成就可简述如下：
1．四元术
四元术是在天元术基础上逐渐发展而成的．天元术是一元高次方程列方程的方法．天元术开头处总要有“立天
元一为××”之类的话，这相当于现代初等代数学中的“设未知数x为××”．四元术是多元高次方程列方程和解
方程的方法，未知数最多时可至四个．四元术开头处总要有“立天元一为××，地元一为○○，入元一为△△，物元一为**”，即相当于现代的“设x，y，z，为××，○○，△△，**”．天元术是用一个竖列的筹式依次表示未知数(x)的各次幂的系数的，而四元术则是天元术的推广．按莫若为《四元玉鉴》所写的序言所记述，四元式则是“其法以元气居中，立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上，阴阳升降，进退左右，互通变化，错综无穷”，此即在中间摆入常数项(元气居中)，常数项下依次列入x各次幂的系数。左边列y，y2，y3，…各项系数，右边为z，z2，z3，…各项系数，上边为u，u2，u3，…各项系数，而把xy，yz，zu，…，x2y，y2z，z2u，…各项系数依次置入相应位置中(如图1)．例如：x＋y＋z＋u=0，即可以下列筹式表示(如图2)．而(x y z u)2=A，即可以图3所示之筹式表示之，即将(x＋y Z＋u)2=x2 y2＋z2＋u2＋2xy＋2xz 2xu 2yz 2yu 2zu中的2xy，2yz…等记入相应的格子中，而将不相邻的两个未知数的乘积如2xu，2yz的系数记入夹缝处，以示区
别．图3即是《四元玉鉴》书首给出的“四元自乘演段之图”(为了方便，我们用现代通用的阿拉伯数码代替了原图中的算筹)．如此记写的四元式，既可表示一个多项式，也可以表示一个方程．
四元式的四则运算如下进行．
(1)加、减：使两个四元式的常数项对准常数项，之后再将相应位置上的两个系数相加、减即可．
(2)乘：
1)以未知数的整次幂乘另一四元式，如以刀，x，x2，x3，…乘四元式，则等于以该项系数乘整个四元式各项
再将整个四元式下降，以x乘则下降一格，x2乘则下降二格．以y的各次幂乘则向左移，以z乘则右移，以u乘则上升．
2)二个四元式相乘：以甲式中每项乘乙式各项，再将乘得之各式相加．
(3)除(仅限于用未知数的整次幂来除)：等于以该项系数除四元式各项系数之后，整个四元式再上、下、左、
右移动．
上述四则运算也就是莫若《四元玉鉴》序言中所说的“阴阳升降，进退左右，互通变化，错综无穷”．在当时
中国数学尚缺少数学符号的情况下，朱世杰利用中国古代的算筹能够进行如此复杂的运算，实属难能可贵．
朱世杰四元术精彩之处还在于消去法，即将多元高次方程组依次消元，最后只余下一个未知数，从而解决了整
个方程组的求解问题．其步骤可简述如下：
1)二元二行式的消法例如“假令四草”中“三才运元”一问，最后得出如下图的两个二元二行式，这相当于求解或将其写成更一般的形式其中A0，B1和A1，B0分别等于算筹图式中的“内二行”和“外二行”，都是只含z而不含x的多项式．朱世杰解决这些二元二行式的消去法即是“内二行相乘、外二行相乘，相消”．也就是F(z)=A0B1-A1B0=0．
此时F(z)只含z，不含其他未知数．解之，即可得出z之值，代入上式任何一式中，再解一次只含x的方程即可
求出x．
2)二元多行式的消法不论行数多少，例如3行，则可归结为以A2乘(2)式中B2x2以外各项，再以B2乘(1)式中A2x2以外各项，相消得C1x C0=0．(3)以x乘(3)式各项再与(1)或(2)联立，消去x2项，可得D1x D0=0．
(4)(3)，(4)两式已是二元二行式，依前所述即可求解．
3)三元式和四元式消法
如在三元方程组中(如下列二式)欲消去y：
式中诸Ai，Bi均只含x，z不含y．(5)，(6)式稍作变化即有以A0，B0与二式括号中多项式交互相乘，相消得
C1y＋C0=0．(9)(9)式再与(7)，(8)式中任何一式联立，相消之后可得D1y＋D0=0．(10)
(9)，(10)联立再消去y，最后得E=0，(11)
E中即只含x，z．再另取一组三元式，依法相消得F＝0．(12)(11)，(12)只含两个未知数，可依前法联立，再消去一个未知数，即可得出一个只含一个未知数的方程，消去
法步骤即告完成．
以上乃是利用现代数学符号化简之后进行介绍的，实际上整个运算步骤都是用中国古代所特有的计算工具算筹
列成筹式进行的，虽然繁复，但条理明晰，步骤井然．它不但是中国古代筹算代数学的最高成就，而且在全世界，在13—14世纪之际，也是最高的成就．显而易见，在一个平面上摆列筹式，未知数不能超过四元，这也是朱世杰四元术的局限所在．在欧洲，直到18世纪，继法国的E．贝祖(Béout，17779)之后又有英国的J．J．西尔维斯特(Sylvester，184
0)和A．凯莱(Cay-ley，1852)等人应用近代方法对消去法进行了较全面的研究．
2．高阶等差级数求和
在中国古代，自宋代起便有了关于高阶等差级数求和问题的研究．在沈括(1031—1095)和杨辉的著作．(1261
—1275)中，都有各种垛积问题，这些垛积问题有一些就是高阶等差级数问题．另外，在历法计算过程中，特别是
在计算太阳在黄道上的精确位置时，要用到内插法．在宋代历法中，已经考虑并用到三次差的内插法．这也是一种高阶等差级数的求和问题．
朱世杰在《四元玉鉴》中又把这一问题的研究进一步深化．
据研究，朱世杰已经掌握了如下一串三角垛的公式，即
茭草垛
三角垛
撒星形垛
三角撒星形垛
(又称“撒星更落一形垛”)
三角撒星更落一形垛从中不难看出前垛的求和结果恰好是后垛的一般项，即前垛的各层累计的和刚好是后垛中的一层，因此朱世杰常把后一种垛积称为前一垛积的“落一形垛”．这串公式可用一个公式来表达，即当p=1，2，3，4，5时．(A)式就是上述五个公式．
除(A)式之外，朱世杰还已掌握了当P=1时称为四角垛，即当P=2时称为岚峰形垛，即当P=3时称为三角岚峰形垛，即当然，《四元玉鉴》中也还有一些其他类型的垛积问题．
由于朱世杰已经掌握了公式(A)，掌握了一串三角垛公式，这使他有可能超越前人，提出高次招插法公式，从
而有可能解决任何一类高阶等差级数的求和问题．《四元玉鉴》“如象招数”门最后一问中提出了一个需用四次差(即四次差相等，五次差等于0)的招差问题．如以现代符号记述，以△1，△2，△3，△4表示一差、二差、三差和四差，朱世杰相当于给出了招插公式：
这是一个有关计算招兵人数的问题．朱世杰的解法是“求兵者：今招为上积，又今招减一为茭草底子积为二积
，又今招减二为三角底子积为三积，又今招减三为三角落一积为下积，以各差乘各积，四位并之，即招兵数也”，所描述的刚好就是上述公式．因为朱世杰指出了上述公式各项的系数，刚好依次是一串三角垛的“积”，从这一点出发不难推断朱世杰是可
以将其推广至任意高次的高阶等差级数和招差问题上去的．在西方，是J．格雷戈里(Gregory，1638—1675)最先对招插法进行了研究，直到牛顿的着作(1676，1678)中才
出现了关于招插术的一般公式．当然牛顿的公式采取了近代数学的形式，而且用途广泛，但朱世杰的首创之功也是不可泯灭的．
朱世杰在数学方面的贡献并不局限于上述两点，例如《算学启蒙》中所列各种歌诀、口诀(包括除法口诀)均已
十分齐备，这为计算工具由筹算到珠算的过渡创造了条件．但四元术和高阶等差级数求和问题两方面的成就，仍显得十分突出，由于这两方面成就的出现，使得高度发展了的宋元时期的中国数学，更放异彩．
清代数学家王鉴说，朱世杰“兼秦(九韶)、李(冶)之所长”，罗士琳也说他是“尤超越乎秦、李之上”．清代
末年还有人评论说“中法以《四元玉鉴》为诣极之书”．20世纪美国著名的科学史家G．萨顿(Sarton，1884—1956)评价朱世杰是“汉民族的，他所生存的时代的，同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学家”，说《四元玉鉴》“是中国数学著作中最重要的一部，同时也是中世纪最杰出的数学著作之一”．如此之高的评价，朱世杰和他的著作都是当之无愧的．
朱世杰
“燕山朱松庭先生”，是我国元朝时代的一位杰出的数学家。所写的《四元玉鉴》和《算学启蒙》，是我国古
代数学发展进程中的一个重要的里程碑，是我国古代数学的一份宝贵的遗产。
朱世杰的青少年时代，正相当于蒙古军灭金之后。但在灭金之前，中都（即今之北京）便于1215年被成吉思汗
攻占。
元世祖忽必烈继汗位之后，于1264年（至1266年）为便于统治中原地区的人民，迁都燕京（后改称大都，亦即
今之北京）到了13世纪60年代燕京不只是全国的政治中心，而且也是当时全国重要的文化中心，特别是北方的一个文化中心。
忽必烈为了元朝的统治，曾网罗了一大批汉族的知识分子充作智囊团。其中就著名的有王恂（1235—1281）、
郭守敬（1231—1279）、李冶（1192—1279）等人，这个智囊团中的人物，对数学和历法都很精通，他们未入朝前曾隐于河北省南部武安紫金山中。
13世纪中叶，在现在的河北省的南部地区和山西省的南部地区，出现了一个以天元术为其代表的数学研究中心
。除上述武安的紫金山和李冶元氏封龙山外，山西临汾的蒋周，河北蠡县的李文一，河北获鹿的石信道等人都在研究天元术。朱世杰也继承了北方数学的主要成就——天元术，并将其由二元、三元推广至四元方程组的解法。
朱世杰除了接受北方的数学成就之外，他也吸收了南方的数学成就，尤其是各种日用算法、商用算术和通俗化的歌诀等等。
在元灭南宋以前，南北之间的交往，特别是学术上的交往几乎是断绝的。南方的数学家对北方的天元术毫无所知，而北方的数学家也很少受到南方的影响。朱世杰曾“周游四方”，莫若（古代数学家）序中有“燕山松庭朱先生以数学名家周游湖海二十余年矣。四方之来学者日众，先生遂发明《九章》之妙，以淑后图学，为书三卷……名曰《四元玉鉴》”，祖颐后序中亦有“汉卿名世杰，松庭其自号也。周流四方，复游广陵，踵门而学者云集”。经过长期的游学、讲学等活动，终于在1299年和1303年，在扬州，刊刻了他的两部数学杰作——《算学启蒙》和《四元玉鉴》。杨辉书中的归除歌诀在朱世杰所著《算学启蒙》中有了进一步的发展。
清罗士琳认为：“汉卿在宋元间，与秦道古（即秦九韶）、李仁卿可称鼎足而三。道古正负开方，汉卿天元如积皆足上下千古，汉卿又兼包众有，充类尽量，神而明之，尤超越乎秦、李之上”。清代数学家王鉴也说：“朱松庭先生兼秦、李之所长，成一家之著作”。朱世杰全面继承了并创造性地发扬了天元术、正负开方法等秦、李书中所载的数学成就之外，还囊括了杨辉书中的日用、商用、归除歌诀之类与当时社会生活密切相关的各种算法，并作了新的发展。
由此看来，在朱世杰的工作中，不仅有高次方程的解法，天元术等为代表的北方数学的成就，也包括了杨辉工作中所体现出来的日用，商用算法以及各种歌诀等南方数学的成就，不仅继承了中国古代数学的光辉遗产，而且又作了创作性的发展。朱世杰的工作，在一定意义上讲，可以看作是宋元数学的代表，可以看作是古代筹算系统发展的顶峰。就连西方资产阶级学者们也不能否认这一点，乔治·萨顿说：朱世杰“是汉族的，他所生存的时代的，同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学家”，说《四元玉鉴》“是中国数学著作中最重要的一部，同时也是中世纪最杰出的数学著作之一”。朱世杰以他自己的杰出著作，把中国古代数学推向更高的境界，为中国古代数学的光辉史册，增加了新的篇章，形成了宋代中国数学发展的最高峰。
朱世杰朱世杰字汉卿，号松庭，元朝人，籍贯燕山（今北京附近）。他长期从事数学研究和教育事业，以数学名家周
游湖海二十多年，四方登门来学习的人很多。
朱世杰全面继承了秦九韶（约公元1202－1261年，他的主要著作是《数书九章》）、李冶（公元1192－1279年，主要著作是《测圆海镜》和《益古演段》。）、杨辉（著有《详解九章算法》十二卷《日用算法》二卷、《乘除通变算宝》三卷、《田亩比类乘除捷法》二卷、《续古摘奇算法》二卷等）三人的数学成就和各种实用算法，而且创造性地予以发展，写出《算学启蒙》三卷、《四元玉鉴》三卷等著名著作，把我国古代数学推向更高的境界，形成宋、元时期中国数学的最高峰。
《算学启蒙》是朱世杰在元成宗大德三年（公元1299年）刊印的，全书分三卷，二十门，总计二百五十九个问题和相应的解答。自乘除运算起，一直讲到当时数学发展的最高成就“天元术”，全面介绍了当时数学所包含的各方面内容。它的体系完整，内容深入浅出，通俗易懂，是一部很著名的启蒙读物。这部著作后来流传到了朝鲜、日本等国，出版过翻刻本和注释本，产生过一定的影响。《四元玉鉴》更是一部成就辉煌的数学名著。它受到近代数学史研究者的高度评价，认为是中国数学著作中最
重要的一部，同时也是中世纪最杰出的数学著作之一。《四元玉鉴》成书于大德七年（公元1303年），共三卷，二十四门，二百八十八问，介绍了朱世杰在多元高次方程组的解法棗“四元术”、高阶等差级数的计算棗“垛积术”以及“招差术”（有限差分）等方面的研究成果。
秦、李、杨、朱的数学著作内容广泛而艰深，象高次方程的数值解法、天元术、四元术、大衍求一术、垛积术和招差术等，都是具有世界意义的学术成就，分别比欧洲要早出现四百年到八百年，在当时世界上居于遥遥领先的地位。这一丰富多彩的辉煌时期在我国数学史上也是罕见的。
朱世杰的“四元术”是在高次方程的数值解法以及“天元术”的基础上发展起来的。当未知数不止一个的时候，除设未知数天元（χ）外，还需要增设地元（y）、人元（z）乃至物元（u），再列写出二元、三元甚至四元的
高次联立方程组，然后求解。这就是朱世杰在他的著作中所介绍的“四元术”。朱世杰不仅提出了多元（最多到四元）高次联立方程组的算筹摆置记述方法，而且把《九章算术》等书中四元一次联立方程解法推广到四元高次联立方程，在欧洲，解联立一次方程开始于十六世纪，关于多元高次联立方程的研究还是十八、十九世纪的事。
朱世杰还把三角垛公式引用到“招差术”上，指出招差公式中的各项系数恰好依次是各三角垛的积，这样就得到了包含有四次差的招差公式，并且可以推广为包含任意高次差的招差公式，这在世界数学史上是第一次，比欧洲牛顿的同样成就要早近四个世纪。除了“四元消法”和“垛积招差”以外，朱世杰在他的著作中还提出了许多值得注意的内容：在中国数学史上，朱世杰第一次正式提出了正负数乘法的正确法则。他对球体表面积的计算问题作了探讨，这是我国古代数学典籍中唯一的一次讨论。虽然结论不很正确，但是他的创新精神是可贵的。在《算学启蒙》中，朱世杰记载了完整的“九归除法”口诀，和现在流传的珠算归除口诀几乎完全一致。
总之，朱世杰继承和发展了前人的数学成就，为推进我国古代数学的发展做出了不可磨灭的重要贡献。由于朱世杰和其他同时代数学家的共同努力，使宋、元时期的数学水平达到光辉的高度，在很多方面居于世界前列。朱世杰不愧是我国乃至世界数学史上负有盛名的数学家。
《算学启蒙》
中国元代数学家朱世杰撰，元大德三年（1299）刻于扬州，此刊已不存。
本书包括了从乘除法运算及其捷算法到开方、天元术、方程术等当时数学各方面的内容，由浅入深，形成了一
个较完整的体系。正文前，列出了九九歌诀、归除歌诀、斤两化零歌、筹算识位制度、大小数进位法、度量衡制度、圆周诸率、正负数加减乘法法则、开方法则等18条作为总括，作为全书的预备知识，其中正负数乘法法则不仅在中国数学著作中，在世界上也是首次出现。许多歌诀比杨辉的更加完整准确，有的已与现代珠算口诀几乎完全一致。这是中国数学著作中第一次出现的与现今一致的口诀。本书的正文分3卷，20门，259问。卷上8门，113问，包括各种乘除捷算法和歌诀的应用题，以及各种比例算法。
许多问题反映了元代的社会经济情况。卷中7门，71问，是面积、体积及各种算术问题。卷下5门，75问，是关于分数运算、垛积（即高阶等差级数求和）、盈不足术、线性方程组解法、天元术及增乘开方法等问题。还处理了开方过程中系数变号的问题。
《算学启蒙》是一部很好的数学教材，它把当时的初级和中级数学知识从乘除口诀开始，包括面积、体积、比
例、开方、高次方程、天元术等，有例题，有方法，分门别类，由浅入深，循序渐进，自成系统，确是一部很好的数学启蒙读物。此书曾传至朝鲜、日本，朝鲜有李朝世宗十五年（1433）的庆州府刻本，清顺治十七年（1660）金州府尹金始振翻刻。清罗士琳诸人闻此书，遂请人于北京寻获金刻本，道光十九年(1839)由阮元作序，在扬州刊刻，后来诸版皆依此。